martes, 15 de agosto de 2017

GNP: Gephi, NodeXL y Pajek

Descripción de las herramientas de análisis de redes sociales GNP (Gephi, NodeXL, Pajek) 

Por M. Thangaraj, S. Amutha

Este documento explica las importantes herramientas útiles en el Análisis de Redes Sociales y describe acerca de las herramientas de extracción y comodidad para los usuarios de WWW. Explica detalladamente los detalles sobre las herramientas de ARS como Gephi, NodeXL y Pajek. Las herramientas de ARS como características, métricas, aplicaciones, arquitectura, formato de entrada / salida, y la motivación de las herramientas seleccionadas.




domingo, 13 de agosto de 2017

Asortatividad en algas y redes políticas

Lo que las algas pueden decirnos sobre estrategia política





En la estructura disasortativa (izquierda), ambos competidores pueden coexistir mientras que la estructura asortativa (derecha) conduce a un escenario de ganador-toma-todo. (Imagen: Libby et al, 2017, Scientific Reports)

Santa Fe Institute

Mientras que los organismos unicelulares normalmente sólo se meten en discusión política a través de insultos, resulta que modelar su comportamiento puede dar a los investigadores un mejor manejo de cómo los movimientos políticos sobreviven y se propagan.

En un nuevo artículo publicado en Nature Scientific Reports, los investigadores modelaron sistemas en los que las estrategias o las ideologías compiten por los miembros. Al variar la medida en que los miembros de un determinado sistema trabajaron ofensivamente o defensivamente, tratando de convertir a los individuos para que estén de su "lado" o tratando de mantener a personas similares, encontraron algunos principios generales que pueden comenzar a explicar cómo se desarrollan las diferentes estrategias.

"El ángulo original para esta investigación esto provenía de una inclinación política. En realidad era de las algas ", dijo el autor del estudio Eric Libby, un miembro de SFI Omidyar que estudia las comunidades de microbios unicelulares. Pero, señaló, "creo que el control político sobre esto es probablemente más intuitivo".

Inicialmente, Libby y el investigador de SFI Laurent Hébert-Dufresne estaban analizando cómo las algas evolucionan en diferentes ciclos de vida complejos, tales como qué nutrientes absorber. Después de un grupo de trabajo con sus colaboradores, vieron que podría ayudar a explicar la dinámica en una población donde dos grupos compiten por recursos - en este caso, los votantes.

En el modelo de simulación original desarrollado, que incluyó sólo dos grupos distintos, los individuos que exhiben una ideología podrían adoptar el otro si estuvieran en torno a suficientes personas con las creencias opuestas que buscan influenciarlas.

Con el tiempo, los investigadores descubrieron que cuando dos ideologías competitivas se alineaban con estrategias (predominantemente) ofensivas, muchas personas se convertirían de un lado al otro, y ambas partes persistirían. Mientras tanto, cuando ambas ideologías eran más defensivas, en lugar de conducir a un estancamiento, el grupo menos defensivo desapareció por completo, ya que una pequeña pérdida inicial se amplificaría en última instancia. Se encontró que una combinación de defensa y ofensiva de cincuenta y cinco era la mejor estrategia.

Pero cuando un tercero fue agregado a la mezcla, la estrategia ganadora era aquella que usaba un nivel de ofensa superior a un oponente pero inferior al otro. No había una sola mejor estrategia. "Si usted tiene varias estrategias en competencia, no parece ser una solución óptima", explicó Libby. "Realmente depende contra quién compites más".

Lea el trabajo:, "Strategic tradeoffs in competitor dynamics on adaptive networks," en Nature Scientific Reports (August 8, 2017)

jueves, 10 de agosto de 2017

Matemática: Una prueba gráfica del teorema de Ramsey

Una prueba visual simple de una idea poderosa

El teorema de Ramsey predice una sorprendente (y útil) consistencia en la organización de grafos. Aquí hay una simple prueba visual de cómo funciona.



Lucy Reading-Ikkanda / Quanta Magazine; Fuente: Jonathan Jedwab, Universidad Simon Fraser

Kevin Hartnett | Quanta Magazine


Un avance reciente en la geometría hace un uso intensivo del teorema de Ramsey, una idea importante en otra teoría del campo-gráfico. El teorema de Ramsey indica que en cualquier gráfico donde todos los puntos están conectados por líneas rojas o líneas azules, se garantiza que tiene un gran subconjunto del gráfico que es completamente uniforme, es decir, todo rojo o todo azul.

Equivalentemente, puedes ir por el otro lado: selecciona el tamaño que deseas que tu subconjunto uniforme sea. El teorema de Ramsey indica que en algún lugar hay un grafo en el que debe surgir un subconjunto de ese tamaño.

No es obvio por qué esto es cierto. ¿Por qué no puede haber un grafo en el que las líneas de diferentes colores queden completamente mezcladas entre sí?

Le hice esta pregunta a Jonathan Jedwab, matemático de la Universidad Simon Fraser en la Columbia Británica. Él respondió con este ejemplo, que proporciona una intuición gráfica de por qué el teorema es verdadero.

Tomemos un caso simple en el que usted está buscando un subconjunto de al menos tres líneas que son completamente uniformes. Un grafo hexagonal está garantizado para darle ese subconjunto. ¿Cómo?

Comience con seis puntos que representan a seis personas en una fiesta. Cualquier persona en la fiesta se conoce o no se conoce. Si se conocen, colorea la línea roja. Si no se conocen, colorea la línea entre ellos azul. Cada punto tendrá entonces cinco líneas que salen de él; Al menos tres de esas cinco líneas deben ser de color rojo o azul.

Una demostración del teorema de Ramsey significaría demostrar que no importa cómo se conecte a la gente, se garantiza que termina con un triángulo (un subconjunto uniforme con tres líneas) que es todo azul o todo rojo.



Pensemos en la Persona 1. Al menos tres de sus cinco líneas van a ser de color rojo o azul. Dado que, imagine que conoce a las personas en las posiciones 2, 4 y 5, y el color de las líneas de color rojo.



Ahora, piense en la Persona 2 y la Persona 5. Si se conocen, colorearemos el enlace en rojo y tendremos un triángulo de todo un color, que estamos tratando de evitar. Así que colorea ese enlace azul.



Luego piense en la relación entre la Persona 4 y la Persona 5. Una vez más, para evitar un triángulo rojo, tenemos que colorear ese enlace azul.



Por último, tenemos la relación entre la Persona 2 y la Persona 4. O bien se conocen o no lo hacen, haciendo que el enlace entre ellos sea rojo o azul. De cualquier manera, estamos obligados a crear un triángulo que es todo un color, y el teorema de Ramsey se confirma.



En los grafos más grandes - casos con un millón de personas, o miles de millones - el teorema de Ramsey garantiza que todos los puntos de un gran subconjunto del grafo estarán conectados con líneas del mismo color. Pero, ¿cuán vasto es "vasto"? Los matemáticos no están seguros. En particular, no conocen el tamaño mínimo que puede tener un grafo antes de que se garantice un subconjunto de un tamaño determinado (para todos los tamaños posibles). De esta manera, el teorema de Ramsey es como muchas herramientas que usamos todos los días - es útil, incluso si no entendemos todo acerca de cómo funciona.

martes, 8 de agosto de 2017

Bots sociales juegan rol crucial en difundir noticias falsas

Primera evidencia de que los robots sociales desempeñan un papel importante en la difusión de noticias falsas


Las cuentas automatizadas están siendo programadas para difundir noticias falsas, de acuerdo con el primer estudio sistemático de la forma en que se despliega la desinformación en línea

Por Emerging Technology de la arXiv

Las noticias falsas y la forma en que se extiende en las redes sociales está emergiendo como una de las grandes amenazas para la sociedad moderna. En los últimos tiempos, las noticias falsas se han utilizado para manipular los mercados de valores, hacer que la gente elija opciones de salud peligrosas, y manipular las elecciones, incluyendo las elecciones presidenciales del año pasado en los EE.UU.

Claramente, existe una necesidad urgente de una manera de limitar la difusión de noticias falsas. Y eso plantea una pregunta importante: ¿cómo se difunde la falsa noticia en primer lugar?

Hoy recibimos una respuesta de las clases gracias al trabajo de Chengcheng Shao y amigos en la Universidad de Indiana en Bloomington. Por primera vez, estos chicos han estudiado sistemáticamente cómo una falsa noticia se extiende en Twitter y proporcionan una ventana única en este mundo turbio. Su trabajo sugiere estrategias claras para controlar esta epidemia.



Red de difusión para el artículo titulado "Spirit cooking: Clinton campaign chairman practices bizarre occult ritual,", publicado por el sitio de conspiración Infowars.com cuatro días antes de las elecciones estadounidenses de 2016.

Se trata de la publicación de noticias falsas o engañosas. Tan generalizado se ha convertido en que un número de organizaciones independientes de verificación de hechos han surgido para establecer la veracidad de la información en línea. Estos incluyen snopes.com, politifact.com, y factcheck.org.

Estos sitios enumeran 122 Web site que rutinariamente publican noticias falsas. Estos falsos sitios de noticias incluyen infowars.com, breitbart.com, politicususa.com, y theonion.com. "No excluimos la sátira porque muchas fuentes de noticias falsas etiquetan su contenido como satírico, haciendo la distinción problemática", dicen Shao y coautores.

Shao y coautores supervisaron cerca de 400.000 reclamaciones hechas por estos sitios web y estudiaron la forma en que se propagan a través de Twitter. Lo hicieron recolectando unos 14 millones de publicaciones en Twitter que mencionaban estas afirmaciones.

Al mismo tiempo, el equipo supervisó unas 15.000 historias escritas por las organizaciones de verificación de hechos y más de un millón de publicaciones de Twitter que las mencionan.

Después, Shao y sus coautores miraron las cuentas de Twitter que difundieron esta noticia, recogiendo hasta 200 de los tweets más recientes de cada cuenta. De esta manera, el equipo podría estudiar el comportamiento de Twitter y averiguar si las cuentas eran más probablemente ejecutadas por seres humanos o por bots.

Habiendo hecho un juicio sobre la propiedad de cada cuenta, el equipo finalmente miró la forma en que los humanos y los bots difunden falsas noticias y noticias comprobadas.

Para hacer todo esto, el equipo desarrolló dos plataformas en línea. El primero, llamado Hoaxy, rastrea afirmaciones de falsas noticias, y el segundo, Bolometer, determina si un conteo de Twitter es más probable que sea ejecutado por un humano o un bot.

Los resultados de este trabajo hacen interesante la lectura. "Las cuentas que propagan activamente la desinformación son significativamente más propensas a ser bots", dicen Shao y coautores. "Los bots sociales juegan un papel clave en la difusión de noticias falsas".

Shad y co dicen que los bots juegan un papel particularmente significativo en la difusión de noticias falsas poco después de su publicación. Es más, estos robots están programados para dirigir sus tweets a usuarios influyentes. "Las cuentas automatizadas son particularmente activas en las primeras fases de propagación de las reclamaciones virales, y tienden a dirigirse a los usuarios influyentes", dicen Shao y coautores.

Es una estrategia inteligente. Es mucho más probable que la información se vuelva viral cuando pasa a través de nodos altamente conectados en una red social. Así que la orientación de estos usuarios influyentes es clave. Los seres humanos pueden ser fácilmente engañados por cuentas automatizadas y sin querer pueden sembrar la difusión de noticias falsas (algunos humanos lo hacen con acierto, por supuesto).

"Estos resultados sugieren que la contención de los bots sociales puede ser una estrategia eficaz para mitigar la propagación de la desinformación en línea", dicen Shao y coautores.

Esa es una conclusión interesante, pero la forma en que se puede hacer no está clara.

Una forma sería prohibir ciertos tipos de bots sociales. Pero esta es una ruta llena de dificultades. Hay muchos bots sociales que desempeñan un papel importante en la difusión de información legítima.

Y la legislación no supera las fronteras internacionales. Dada la forma en que las potencias extranjeras han manipulado la difusión de noticias falsas, es difícil ver cómo funcionaría.

Sin embargo, la difusión de noticias falsas es una fuente legítima e importante de preocupación pública. Comprender cómo se propaga es la primera etapa para abordarlo.

Ref: arxiv.org/abs/1707.07592: The Spread of Fake News by Social Bots´


jueves, 3 de agosto de 2017

Redes sociales prehistóricas balcánicas deducidas de composición química de metalurgia

Algoritmos identifican la dinámica de las redes sociales prehistóricas en los Balcanes

Eureka Alert



El análisis de modularidad revela tres módulos densamente conectados / comunidades que produjeron e intercambiaron cobre en los Balcanes entre c. 6200 aC y c. 3200 aC. También están significativamente correlacionados con la distribución de las culturas arqueológicas de la época, proporcionando a los arqueólogos el método revolucionario para modelar matemáticamente fenómenos arqueológicos.


En el primer estudio arqueológico de este tipo, dos investigadores han combinado los análisis químicos de docenas de artefactos de cobre más antiguos del mundo y el enfoque modular para identificar redes prehistóricas de cooperación durante el desarrollo temprano de la metalurgia europea. Este estudio les ha llevado un paso más: las comunidades que más cooperaron pertenecían a la misma cultura arqueológica, revelando así un nuevo método para una evaluación independiente del registro arqueológico.

La sistemática arqueológica, especialmente en la prehistoria, utiliza la acumulación de rasgos materiales o formas de vivienda similares en sitios arqueológicos para designar "culturas arqueológicas" distintivas; Sin embargo, lo que estas expresiones de similitud representan y en qué resolución siguen siendo un problema importante en el campo de la arqueología.

El estudio, publicado esta semana en el Journal of Complex Networks, adopta un enfoque alternativo midiendo la fuerza de los enlaces entre sitios arqueológicos y produce modelos pioneros de interacción y cooperación humanas que pueden evaluarse independientemente de la sistemática arqueológica establecida. Se centra en una base de datos arqueológica amplia de artefactos de cobre de los Balcanes, fechado a partir de c. 6200 aC a 3200 aC - los primeros 3000 años de uso conocido de minerales y metales de cobre en Europa.

La composición química de estos artefactos es la única información utilizada para el análisis de la modularidad, por lo tanto aislada de cualquier información arqueológica y espaciotemporal. Sin embargo, los resultados son arqueológicamente y spatiotemporalmente significativos para la evolución de la red de suministro de cobre más antigua del mundo.

La Dra. Jelena Gruji, físico de la Universidad de Vrije en Bruselas, explica la novedad de este método para la investigación arqueológica: "Aunque existen algunos enfoques que los arqueólogos usan para inferir modelos de circulación de metales en el pasado, y por lo tanto indican la prehistoria económica y Sociales, el análisis de modularidad ofrece por primera vez una opción para probar la significación de nuestros resultados, y por lo tanto un método que sea matemáticamente confiable y replicable ".

La Dra. Miljana Radivojevi,  autora principal e investigadora del Instituto McDonald de Investigaciones Arqueológicas de la Universidad de Cambridge, comentó: "Ser capaz de inferir grupos sociales con una fuerte importancia espacial y temporal en los datos arqueológicos utilizando esta propiedad de la red es un verdadero cambio de juego. Es un paso importante hacia la evaluación de los fenómenos tecnológicos, económicos y sociales en el pasado humano - en cualquier lugar ".

martes, 1 de agosto de 2017

Viralidad: Gangnam Style se parece a la peste negra

En qué se parecen Gangnam Style y la peste negra

Un estudio científico analizó la viralización del videoclip del surcoreano Psy en todo el mundo en cuestión de meses. Cómo se establecieron similitudes con la enfermedad que se propagó en el siglo XIV
Infobae



Un estudio comparó la viralidad del video con la enfermedad

En algún momento, no hace tanto, después de la irrupción de las redes sociales, surgieron los fenómenos virales. Videos de gatitos, memes de Chuck Norris, bloopers, errores inolvidables y un largo etcétera. No obstante, la viralidad explotó el 15 de julio de 2012 con el lanzamiento del videoclip de Gangnam Style, de Psy, un músico anónimo salvo para un nicho surcoreano.

El video traspasó cualquier frontera imaginada. Para el 21 de diciembre de 2012, ya se había convertido en el más visto en la historia de Youtube con mil millones de reproducciones en todo el mundo. "En 2012, el récord de Gangnam Style marcó la aparición de un nuevo tipo de meme online. Alcanzó un nivel sin precedentes de fama a pesar de su pequeña audiencia original", dijo Zsofia Kallus, líder del estudio que buscó comprender el fenómeno.

El equipo, procedente de la Universidad Eotvos de Budapest, Hungría, se propuso averiguar cómo se generó el boom imparable. Para ello, se valieron de distintas herramientas como Google Trends y el archivo de tweets geolocalizados. Así podrían conocer el momento de la recepción del video.

Los resultados, publicados en arXiv, son llamativos. Al contrario de lo esperado, Corea del Sur no desató el fenómeno. Sí manifestó su primer brote, pero la viralidad inició cuando llegó a Filipinas. De allí se esparció hacia el resto del mundo. "Eso es probablemente porque Filipinas está relativamente cerca de Corea del Sur, pero tiene vínculos más fuertes con el resto del mundo. Además, también tiene enlaces más fuertes con la lengua inglesa", explicó

Los investigadores no dudaron en comparar al efecto de contagio de Gangnam Style con la peste negra que, durante el siglo XIV, se propagó con una dinámica "con forma de ola". A partir de varios casos que confluían, de acuerdo a las redes comerciales, el virus se expandía en forma rápida y multidireccional, a razón de dos kilómetros por día.


El fenómeno viral se inició en Filipinas

Como la peste bubónica, Gangnam Style siguió un esquema de "cercanía sociodigital", en la que la distancia geográfica no funcionó como un factor clave, sino que se detectaron ciertas áreas de influencia que enlazaba a otras, y esas áreas a otras hasta ocupar todo el globo.

La velocidad de los comunicaciones permitieron una propagación incluso más rápida que la de la enfermedad. Mientras más lazos de influencia tenía un territorio, más posibilidades de crear un efecto amplificado. En cuestión de meses, Gangnam Style se entronizó como el fenómeno viral paradigmático.


domingo, 30 de julio de 2017

La topología de las redes ponderadas

La arquitectura de las redes ponderadas complejas

A. Barrat *, M. Barthélemy †, R. Pastor-Satorras ‡, y A. Vespignani *, §
afiliaciones de autor

Comunicado por Giorgio Parisi, Universidad de Roma, Roma, Italia, 8 de enero de 2004 (recibido para revisión el 29 de octubre de 2003)

PNAS

ResumenLas estructuras en red surgen en una amplia gama de contextos diferentes, tales como las infraestructuras tecnológicas y de transporte, los fenómenos sociales y los sistemas biológicos. Estos sistemas altamente interconectados han sido recientemente el foco de una gran atención que ha descubierto y caracterizado su complejidad topológica. Junto con una compleja estructura topológica, las redes reales muestran una gran heterogeneidad en la capacidad e intensidad de las conexiones. Sin embargo, estas características no se han considerado principalmente en estudios anteriores en los que los enlaces se representan normalmente como estados binarios, es decir, presentes o ausentes. Aquí estudiamos la red de colaboración científica y la red mundial de transporte aéreo, que son ejemplos representativos de sistemas sociales y de grandes infraestructuras, respectivamente. En ambos casos es posible asignar a cada enlace del grafo un peso proporcional a la intensidad o capacidad de las conexiones entre los diversos elementos de la red. Definimos métricas apropiadas que combinan observables ponderados y topológicos que nos permiten caracterizar las propiedades estadísticas complejas y la heterogeneidad de la resistencia real de enlaces y vértices. Esta información nos permite investigar las correlaciones entre las cantidades ponderadas y la estructura topológica subyacente de la red. Estos resultados proporcionan una mejor descripción de las jerarquías y principios organizativos en la base de la arquitectura de redes ponderadas.
Un gran número de sistemas naturales y artificiales se estructuran en forma de redes. Ejemplos típicos son los grandes sistemas de comunicación (Internet, red telefónica, World Wide Web), las infraestructuras de transporte (rutas ferroviarias y aéreas), los sistemas biológicos (redes de interacción de genes y / o proteínas) y una variedad de estructuras de interacción social -3). Las propiedades macroscópicas de estas redes han sido objeto de intensa actividad científica que ha puesto de manifiesto la aparición de una serie de características topológicas significativas. Específicamente, muchas de estas redes muestran la propiedad del mundo pequeño (4), lo que implica que la red tiene una distancia topológica media entre los distintos nodos que aumenta muy lentamente con el número de nodos (logarítmica o incluso más lenta), a pesar de mostrar un alto grado De interconexión local típica de los retículos más ordenados. Adicionalmente, varias de estas redes se caracterizan por una abundancia estadística de "hubs" con un número muy grande de conexiones k comparadas con el valor medio grado Formula. La evidencia empírica recogida a partir de datos reales indica que esta característica distintiva encuentra su caracterización estadística en presencia de distribuciones de grados libres de escala P (k), es decir, mostrando un comportamiento de potencia-ley P (k) ~ k -γ para un rango significativo De valores de k (5). Estas características topológicas resultan ser extremadamente relevantes porque tienen un fuerte impacto en la evaluación de las propiedades físicas de estas redes como su robustez o vulnerabilidad (6-9).
Si bien estas conclusiones por sí solas pueden proporcionar una visión para el análisis de amenazas y las decisiones de política, las redes se especifican no sólo por su topología, sino también por la dinámica de la información o el flujo de tráfico que tiene lugar en la estructura. En particular, la heterogeneidad en la intensidad de las conexiones puede ser muy importante en la comprensión de los sistemas sociales. Análogamente, la cantidad de tráfico que caracteriza las conexiones en los sistemas de comunicación y las grandes infraestructuras de transporte es fundamental para una descripción completa de estas redes.
Motivados por estas observaciones, emprendemos en este trabajo el análisis estadístico de redes complejas cuyos enlaces se han asignado a un peso dado (el flujo o la intensidad) y por lo tanto pueden describirse generalmente en términos de grafos ponderados (10, 11). Trabajando con dos ejemplos típicos de este tipo de red, introducimos algunas métricas que combinan de forma natural tanto la topología de las conexiones como el peso que se les asigna. Estas cantidades proporcionan una caracterización general de las propiedades estadísticas heterogéneas de pesos e identifican definiciones alternativas de centralidad, cohesividad local y afinidad. Mediante mediciones apropiadas también es posible explotar la correlación entre los pesos y la estructura topológica del grafo, revelando la arquitectura compleja mostrada por redes ponderadas reales.

Datos de redes ponderadas

Para proceder al análisis general de las redes ponderadas complejas consideramos dos ejemplos específicos para los cuales es posible tener una caracterización completa de los enlaces entre los elementos de los sistemas, la red mundial de aeropuertos (WAN) y la red de colaboración científica SCN).

WAN. Analizamos la base de datos de la Asociación Internacional de Transporte Aéreo (www.iata.org) que contiene la lista mundial de pares de aeropuertos conectados por vuelos directos y el número de plazas disponibles en cualquier conexión para el año 2002. El grafo de transporte aéreo resultante comprende N = 3.880 vértices denota aeropuertos y E = 18.810 enlaces que representan la presencia de una conexión de vuelo directo. El grado medio de la red es  Formula, mientras que el grado máximo es 318. La topología del grafo muestra tanto las propiedades del mundo pequeño como las sin escalas, como ya se observó en diferentes análisis de conjuntos de datos (12, 13). En particular, la longitud media de la trayectoria más corta, medida como el número medio de aristas que separa cualquier dos nodos de la red, muestra el valor Formula, muy pequeño comparado con el tamaño de la red N. La distribución del grado toma la forma P(k) = k  f(k/k x), donde γ ≅ 2.0 y f(k/k x) es una función de corte exponencial que encuentra su origen en restricciones físicas sobre el número máximo de conexiones que un solo aeropuerto puede manejar (3, 13 ). Por lo tanto, el gráfico de conexión al aeropuerto es un ejemplo claro de una red con una distribución heterogénea de grados, que muestra propiedades libres de escala en una amplia gama de valores de grado.

SCN. Consideramos la red de científicos que han escrito manuscritos enviados al Archivo de e-Print en relación con la física de la materia condensada (http://xxx.lanl.gov/archive/cond-mat) entre 1995 y 1998. Los científicos están identificados con nodos, Y existe una ventaja entre dos científicos si han coautorizado al menos un trabajo. La red conectada resultante tiene N = 12.722 nodos, con un grado medio (es decir, número medio de colaboradores Formula) y grado máximo 97. Las propiedades topológicas de esta red y otras redes similares de colaboraciones científicas han sido estudiadas en refs. 14-16.

Las propiedades de un grafo pueden ser expresadas por su matriz de adyacencia a ij, cuyos elementos toman el valor 1 si un enlace conecta el vértice i con el vértice j y 0 en caso contrario. Los datos contenidos en los conjuntos de datos anteriores permiten ir más allá de esta representación topológica definiendo un gráfico ponderado (10) que asigna un peso o valor que caracteriza cada enlace de conexión. En el caso de la WAN, el peso w ij de un enlace que une los aeropuertos iyj representa el número de asientos disponibles en los vuelos entre estos dos aeropuertos. La inspección de los pesos muestra que el número medio de asientos en ambas direcciones es idéntico w ij = w ji para una abrumadora mayoría de enlaces. En lo sucesivo trabajaremos con el gráfico simétrico no dirigido y evitaremos la complicación derivada de los desequilibrios de flujo. Se muestra un ejemplo del gráfico ponderado resultante en la Fig. 1. Es evidente que la definición anterior de pesos es una medida directa y objetiva del flujo de tráfico en la parte superior de la red.


Figura. 1.
Representación gráfica del grafo ponderado obtenido de los datos de la red aeroportuaria. Los principales aeropuertos de los Estados Unidos están conectados por enlaces que indican la presencia de un vuelo sin escalas en ambas direcciones cuyos pesos representan el número de asientos disponibles (millones / año).

Para el SCN seguimos la definición de peso introducida en refs. 14 y 15: La intensidad w ij  de la interacción entre dos colaboradores i y j se define como
Formula
Donde el índice p corre sobre todos los papeles, n p es el número de autores de papel p, y Formula es 1 si el autor i ha contribuido al papel p y 0 de lo contrario. Si bien cualquier definición de la intensidad de una conexión en las redes sociales depende de los elementos particulares elegidos para ser relevantes, la definición anterior parece ser más objetiva y representativa de la interacción científica: Es grande para los colaboradores que tienen muchos documentos en común, Al peso introducido por cualquier papel dado es inversamente proporcional al número de autores.

Centralidad y ponderaciones

Para tener en cuenta la información proporcionada por el grafo ponderado, identificaremos las cantidades apropiadas que caracterizan su estructura y organización a nivel estadístico. El análisis estadístico de los pesos w ij entre pares de vértices indica la presencia de distribuciones asimétricas hacia la derecha, ya señalando un alto nivel de heterogeneidad en el sistema tanto para la WAN como para el SCN como también se indica en refs. 12, 14 y 15. Sin embargo, se ha observado que los ponderadores de los enlaces individuales no proporcionan una imagen general de la complejidad de la red (11). Una medida más significativa de las propiedades de la red en términos de los pesos reales se obtiene extendiendo la definición del grado de vértice k i = Σj a ij en términos de la fuerza de vértice s i,, definida como
Formula

Esta cantidad mide la fuerza de los vértices en términos del peso total de sus conexiones. En el caso de la WAN, la intensidad de los vértices simplemente explica el tráfico total manejado por cada aeropuerto. Por el contrario, la fuerza es una medida de la productividad científica porque es igual al número total de publicaciones de cualquier científico dado, excluyendo las publicaciones de autor único. Esta cantidad es una medida natural de la importancia o centralidad de un vértice i en la red.

La identificación de los nodos más centrales del sistema es un problema importante en la caracterización de la red (17). La medida topológica más intuitiva de la centralidad viene dada por el grado: los nodos más conectados son más centrales. Sin embargo, más no es necesariamente mejor. De hecho, al considerar únicamente el grado de un nodo, hacemos caso omiso de que los nodos de grado pequeño pueden ser cruciales para conectar diferentes regiones de la red actuando como puentes. Para determinar cuantitativamente el papel de estos nodos, se ha definido la centralidad de intermediación (14, 15, 17, 18) como el número de trayectos más cortos entre pares de vértices que pasan a través de un vértice dado. Los nodos centrales son por lo tanto parte de los más cortos Dentro de la red que los nodos periféricos. Además, la centralidad de intermediación se utiliza a menudo en las redes de transporte para proporcionar una estimación del tráfico manejado por los vértices, suponiendo que el número de trayectos más cortos es una aproximación de orden cero a la frecuencia de uso de un nodo dado. De centralidad se basa sólo en elementos topológicos. Por lo tanto, es intuitivo considerar la definición alternativa de centralidad construida considerando la fuerza s i de los vértices como una definición más apropiada de la importancia de un vértice en redes ponderadas. Por ejemplo, en el caso de la WAN, esta cantidad proporciona el tráfico real que atraviesa el vértice i, y es natural estudiar cómo se compara y correlaciona con otras medidas topológicas de centralidad.

La distribución de probabilidad P(s) de que un vértice tiene fuerza s es pesada en ambas redes, y el comportamiento funcional presenta similitudes con la distribución de grados P(k) (ver Fig. 2). Una descripción funcional precisa de las distribuciones de cola pesada puede ser muy importante para entender la evolución de la red y será diferida para un análisis futuro. Este comportamiento no es inesperado porque es plausible que la fuerza s i aumente con el grado de vértice k i y, por lo tanto, la lenta cola decadente de P(s) deriva directamente de la muy lenta decadencia de la distribución de grados. Para arrojar más luz sobre la relación entre la fuerza y ​​el grado de los vértices, investigamos la dependencia de s i en k i. Encontramos que la fuerza media s(k) de vértices con grado k aumenta con el grado como
Formula


Fig.2. (A) Grado (inserción) y distribución de la fuerza en el SCN. El grado k corresponde al número de coautores de cada científico, y la fuerza s representa el número total de publicaciones del científico. Las distribuciones son de cola pesada incluso si no es posible distinguir una forma funcional definida. (B) Las mismas distribuciones para la WAN. El grado k (inserto) es el número de conexiones sin escalas a otros aeropuertos, y la fuerza s es el número total de pasajeros manejados por cualquier aeropuerto dado. En este caso, la distribución del grado puede ser aproximada por el comportamiento de la ley de potencia P(k) ∼ k   con γ = 1.8 ± 0.2. La distribución de la fuerza tiene una pesada cola que se extiende más de cuatro órdenes de magnitud.

En ausencia de correlaciones entre el peso de los bordes y el grado de vértices, los pesos w ij  son en promedio independientes de i y j, por lo que podemos aproximar Formula, donde Formula es el ponderador promedio en la red. De la ecuación 2 entonces tenemos Formula. Es decir, la fuerza de un vértice es simplemente proporcional a su grado, dando un exponente β = 1, y las dos cantidades proporcionan por lo tanto la misma información sobre el sistema. En la Fig. 3 se presenta el comportamiento obtenido tanto para las redes ponderadas reales como para sus versiones aleatorias, generadas por una redistribución aleatoria de los pesos reales sobre la topología existente de la red. Para el SCN las curvas son muy similares y bien ajustadas por la fuerza de aproximación no correlacionada Formula . Curiosamente, este no es el caso de la WAN. La Fig. 3B muestra claramente un comportamiento muy diferente para el conjunto de datos reales y su versión aleatoria. En particular, el ajuste de potencia-ley para los datos reales da un exponente "anómalo" βWAN = 1,5 ± 0,1. Este valor implica que la resistencia de los vértices crece más rápidamente que su grado, es decir, el peso de los bordes que pertenecen a vértices altamente conectados tiende a tener un valor mayor que el correspondiente a una asignación aleatoria de pesos. Esta tendencia denota una fuerte correlación entre el peso y las propiedades topológicas en la WAN, donde cuanto más grande es un aeropuerto, más tráfico puede manejar.


Fig. 3. La fuerza media s (k) en función del grado k de los nudos. (A) En el SCN los datos reales son muy similares a los obtenidos en una red ponderada al azar. Sólo a valores k muy grandes es posible observar una ligera desviación del comportamiento lineal esperado. (B) En la WAN los datos reales siguen un comportamiento de ley de potencia con exponente β = 1,5 ± 0,1. Este valor denota correlaciones anómalas entre el tráfico manejado por un aeropuerto y el número de sus conexiones.

La huella dactilar de estas correlaciones también se observa en la dependencia del peso w ij en los grados de los nudos finales k i y k j. Como podemos ver en la Fig. 4, para la WAN el comportamiento del peso medio en función de los grados de punto final puede ser bien aproximado por una dependencia de la ley de potencia
Formula



Fig.4. Peso medio en función del grado de punto final. La línea continua corresponde a una fórmula de comportamiento potencia-ley, con exponente θ = 0,5 ± 0,1. En el caso del SCN es posible observar un comportamiento casi plano para aproximadamente dos órdenes de magnitud.

Con un exponente θ = 0,5 ± 0,1. Este exponente puede estar relacionado con el exponente β al notar que Formula, resultando en β = 1 + θ, si las correlaciones topológicas entre los grados de vértices conectados pueden ser descuidadas. Éste es precisamente el caso de la WAN, donde la relación de escalamiento anterior está bien satisfecha por los valores numéricos proporcionados por las mediciones independientes de los exponentes. En el SCN, en cambio, la fórmula es casi constante durante más de dos décadas, lo que confirma una falta general de correlaciones entre los pesos y los grados de vértice.

Análogamente, un estudio del valor medio s (b) de la fuerza para vértices con intermedios b muestra que el comportamiento funcional puede ser aproximado por una forma de escala  s(b) ∼ b δ  con δSCN ≅ 0.5 y δWAN ≅ 0.8 para el SCN Y la WAN, respectivamente. Como antes, la comparación entre el comportamiento de los datos reales y el caso aleatorizado muestra diferencias más pronunciadas en el caso de la WAN. En ambas redes, la fuerza crece con la intermediación más rápido que en el caso aleatorio, especialmente en la WAN. Este comportamiento es otra clara firma de las correlaciones entre las propiedades ponderadas y la topología de red.

Organización estructural de redes ponderadas

Junto con la jerarquía de vértices impuesta por la distribución de la fuerza, mayores son las redes más centrales y complejas que muestran una arquitectura impuesta por la organización estructural y administrativa de estos sistemas. Por ejemplo, las áreas temáticas y las estructuras nacionales de investigación dan lugar a grupos o comunidades bien definidos en el SCN. En la WAN, por otra parte, las diferentes jerarquías corresponden a grupos aeroportuarios nacionales o regionales y sistemas de transporte intracontinental; Factores políticos o económicos pueden imponer restricciones adicionales a la estructura de la red (13). Para descubrir estas estructuras, algunas cantidades topológicas se estudian habitualmente. El coeficiente de agrupación mide la cohesividad del grupo local y se define para cualquier vértice i como la fracción de vecinos conectados de i (4). El coeficiente de agrupamiento promedio C = N -1Σi c i expresa así el nivel estadístico de cohesividad que mide la densidad global de trillizos de vértices interconectados en la red. Se puede obtener más información inspeccionando el coeficiente de agrupamiento promedio C (k) restringido a clases de vértices con grado k. En redes reales (20, 21), C (k) presenta un comportamiento altamente no trivial con un decaimiento de la ley de potencia en función de k, señalando una jerarquía en la que los vértices de grados bajos pertenecen generalmente a comunidades bien interconectadas (alto coeficiente de agrupación) Mientras que los concentradores conectan muchos vértices que no están conectados directamente (coeficiente de agrupación pequeño) (20, 21). Otra cantidad utilizada para investigar la arquitectura de las redes es el grado medio de vecinos más cercanos, k nn (k), para vértices de grado k (22). Esta última cantidad está relacionada con las correlaciones entre el grado de vértices conectados (22, 23), ya que puede expresarse como k nn(k) = Σk kP(k′|k), donde P(k′|k) es la probabilidad condicional de que un vértice dado con grado k esté conectado a un vértice de grado k'. En ausencia de correlaciones de grados, P(k′|k) no depende de k y tampoco el grado medio de vecinos más cercano; Es decir, k nn(k) = constante (22). En presencia de correlaciones, el comportamiento de k nn(k) identifica dos clases generales de redes. Si k nn(k) es una función creciente de k, los vértices de alto grado tienen una probabilidad mayor de estar conectados con vértices de gran envergadura. Esta propiedad se conoce en física y ciencias sociales como mezclas asortativas (24). Por el contrario, un comportamiento decreciente de k nn(k) define la mezcla desasortativas, en el sentido de que los vértices de alto grado tienen una mayoría de vecinos con grado bajo, mientras que lo contrario ocurre para los vértices de bajo grado.

Las cantidades anteriores proporcionan firmas claras de una organización estructural de redes en las que diferentes clases de grado muestran diferentes propiedades en la estructura de conectividad local. Sin embargo, se definen únicamente en términos topológicos, y la inclusión de pesos y sus correlaciones puede cambiar constantemente nuestra visión de la organización jerárquica y estructural de la red. Esto se puede comprender fácilmente con el ejemplo simple de una red en la que los pesos de todos los bordes que forman triples de vértices interconectados son extremadamente pequeños. Incluso para un gran coeficiente de agrupación, es evidente que estos triples tienen un papel menor en la dinámica de la red y la organización, y que las propiedades de agrupamiento son definitivamente sobrestimado por un simple análisis topológico. De manera similar, los vértices de alto grado podrían estar conectados a una mayoría de vértices de bajo grado mientras que concentran la mayor fracción de su fuerza solamente en los vértices con alto grado. En este caso, la información topológica apunta a propiedades desasistidas, mientras que la red podría considerarse asortativa de manera efectiva, porque los bordes más relevantes en términos de pesos están enlazando vértices de alto grado.

Para resolver las incongruencias anteriores se introducen métricas que combinan la información topológica con la distribución de peso de la red. En primer lugar, consideramos que el coeficiente de agrupamiento ponderado definido como (véase la Fig. 5)
Formula


Fig. 5.Ejemplos de configuraciones locales cuyas cantidades topológicas y ponderadas son diferentes. En ambos casos el vértice central (lleno) tiene un enlace muy fuerte con sólo uno de sus vecinos. El agrupamiento ponderado y el grado medio de vecinos más cercanos capturan con mayor precisión el nivel efectivo de cohesividad y afinidad debido a la fuerza de interacción real.

Este coeficiente es una medida de la cohesión local que tiene en cuenta la importancia de la estructura agrupada sobre la base de la cantidad de tráfico o intensidad de interacción realmente encontrada en los trillizos locales. De hecho, Formula cuenta para cada triplete formado en la vecindad del vértice i el peso de los dos bordes participantes del vértice i. De esta manera, consideramos no sólo el número de trillizos cerrados en el vecindario de un vértice sino también su peso relativo total con respecto a la fuerza del vértice. El factor de normalización si(k i - 1) explica el peso de cada borde multiplicado por el número máximo posible de tripletes en los que puede participar, y asegura que la Formula. Consistentemente, la definición de Formula recupera el coeficiente de agrupamiento topológico en el caso de que w ij = constante. A continuación, definimos Cw y Cw (k) como el coeficiente de agrupación ponderada promediado sobre todos los vértices de la red y sobre todos los vértices con grado k, respectivamente. Estas cantidades proporcionan información global sobre la correlación entre pesos y topología, especialmente comparándolos con sus análogos topológicos. En el caso de una gran red aleatoria (falta de correlaciones) es fácil ver que Cw C  y Cw (k) = C(k). En redes ponderadas reales, sin embargo, podemos enfrentar dos casos opuestos. Si Cw C, estamos en presencia de una red en la que los trillizos interconectados son más probables formados por los bordes con pesos más grandes. Por otro lado, Cw C señala una red en la que el agrupamiento topológico se genera por los bordes con bajo peso. En este caso, el agrupamiento tiene un efecto menor en la organización de la red porque la mayor parte de las interacciones (tráfico, frecuencia de las relaciones, etc.) se produce en los bordes que no pertenecen a trillizos interconectados. Lo mismo puede suceder para Cw (k), para lo cual también es posible analizar las variaciones con respecto a la clase de grado k.

Junto con el coeficiente de agrupación ponderada, se introduce el grado de vecinos más próximos promedios ponderados, definido como (véase la figura 5)
Formula

En este caso, realizamos un promedio local ponderado del grado de vecindad más cercano según el peso normalizado de los bordes de conexión, w ij/s i. Esta definición implica que Formula si los enlaces con los pesos más grandes están apuntando a los vecinos con mayor grado y Formula en el caso opuesto. La Formula mide así la afinidad efectiva para conectar con vecinos de alto o bajo grado según la magnitud de las interacciones reales. Además, el comportamiento de la función Formula marca las propiedades ponderadas asortativas o desasortativas considerando las interacciones reales entre los elementos del sistema.

Como prueba general, inspeccionamos los resultados obtenidos tanto para el SCN como para la WAN comparando las cantidades topológicas regulares con las obtenidas con la definición ponderada aquí introducida. Las medidas topológicas nos dicen que el SCN tiene un espectro continuamente en descomposición C(k) (véase la figura 6A). Esto implica que los hubs presentan un vecindario agrupado mucho más bajo que los vértices de bajo grado. Este efecto puede interpretarse como la evidencia de que los autores con pocos colaboradores trabajan normalmente dentro de un grupo de investigación bien definido en el que colaboran todos los científicos (agrupación alta). Sin embargo, los autores con un alto grado de colaboración colaboran con diferentes grupos y comunidades, que a su vez no suelen tener colaboraciones, creando así un coeficiente de agrupamiento más bajo. Además, el SCN exhibe una conducta asociativa de acuerdo con la evidencia general de que las redes sociales se denotan generalmente por un fuerte carácter asociativo (24) (véase la figura 6B). El análisis de las cantidades ponderadas confirma este cuadro topológico, proporcionando más información sobre la arquitectura de la red. El coeficiente de agrupamiento ponderado es muy cercano al topológico (Cw /C ≅ 1). Este hecho indica de manera cuantitativa que las colaboraciones de grupo tienden en promedio a ser estables y determinar la intensidad media de las interacciones en la red. Además, la inspección de Cw (k) (ver Fig. 6A) muestra generalmente que para k ≥ 10 el coeficiente de agrupación ponderada es mayor que el topológico. Esta diferencia implica que los autores de alto grado (es decir, con muchos colaboradores) tienden a publicar más artículos con grupos interconectados de coautores. Este hallazgo sugiere que los científicos influyentes forman grupos de investigación estables donde se obtiene la mayor parte de su producción. Finalmente, las propiedades asociativas encuentran una confirmación de corte claro en el análisis ponderado con una Formula que crece como una potencia de k.


Fig. 6. Cantidades topológicas y ponderadas para el SCN. (A) La agrupación ponderada se separa de la topológica alrededor de k ≥ 10. Este valor marca una diferencia para los autores con mayor número de colaboradores. (B) El comportamiento asortativo se mejora en la definición ponderada del grado medio de vecinos más cercanos.

Una imagen diferente se encuentra en la WAN, donde el análisis ponderado proporciona un escenario más rico y de alguna manera diferente (Fig. 7). Esta red también muestra una C (k) en descomposición, una consecuencia del papel de los grandes aeropuertos que proporcionan conexiones sin escalas a destinos muy lejanos a escala internacional e intercontinental. Estos destinos no suelen estar interconectados entre ellos, dando lugar a un bajo coeficiente de agrupamiento para los hubs. Encontramos, sin embargo, que Cw /C ≅ 1.1, lo que indica una acumulación de tráfico en los grupos interconectados de vértices. El coeficiente de agrupamiento ponderado Cw (k) también tiene un comportamiento diferente en que su variación es mucho más limitada en todo el espectro de k. Esta observación implica que los aeropuertos de alto grado tienen una tendencia progresiva a formar grupos interconectados con enlaces de alto tráfico, equilibrando así la agrupación topológica reducida. Debido a que el alto tráfico está asociado a los hubs, tenemos una red en la que los nodos de alto grado tienden a formar cliques con nodos de igual o mayor grado, el llamado fenómeno del club rico (25). Prueba interesante también emerge de la comparación de k nn(kFormula. El k nn(k) topológico muestra un comportamiento asortativo sólo en grados pequeños. Para k> 10, k nn(k) se aproxima a un valor constante, hecho que revela una estructura no correlacionada en la que vértices con grados muy diferentes tienen un vecindario muy similar. Sin embargo, el análisis de la Fórmula ponderada muestra un pronunciado comportamiento asociativo en todo el espectro k, proporcionando una imagen diferente en la que los aeropuertos de alto grado tienen una mayor afinidad con otros grandes aeropuertos en los que se dirige la mayor parte del tráfico.


Fig.7. Cantidades topológicas y ponderadas para la WAN. (A) El coeficiente de agrupación ponderada es mayor que el topológico en todo el espectro de grados. (B) k nn(k) alcanza una meseta para k> 10 que denota la ausencia de correlaciones topológicas marcadas. En contraste, la Formula exhibe un comportamiento asortativo más definido.

Conclusiones

Hemos demostrado que una visión más completa de las redes complejas se proporciona por el estudio de las interacciones que definen los vínculos de estos sistemas. Los pesos que caracterizan las diversas conexiones muestran características estadísticas complejas con distribuciones muy variables y comportamiento de ley de potencia. En particular, hemos considerado los ejemplos específicos de SCN y WAN donde es posible apreciar la importancia de las correlaciones entre pesos y topología en la caracterización de las propiedades de la red real. De hecho, el análisis de las cantidades ponderadas y el estudio de las correlaciones entre pesos y topología proporcionan una perspectiva complementaria sobre la organización estructural de la red que podría no ser detectada por cantidades basadas únicamente en información topológica. Nuestro estudio ofrece así un enfoque cuantitativo y general para entender la arquitectura compleja de redes ponderadas reales.



Referencias

  1. Albert, R. & Barabási, A.-L. (2002) Rev. Mod. Phys. 74 , 47-97. CrossRef | Web of Science | Google Scholar
  2. Dorogovtsev, S. N. & Mendes, J. F. F. (2003) Evolution of Networks: From Biological Nets to the Internet and WWW (Oxford Univ. Press, Oxford). Google Scholar
  3. Amaral, L. A. N., Scala, A., Barthélemy, M. & Stanley, H. E. (2000) Proc. Natl. Acad. Sci. USA 97 ,11149-11152. Abstract/FREE Full Text
  4. Watts, D. J. & Strogatz, S. H. (1998) Nature 393 , 440-442. CrossRef | Medline | Web of Science | Google Scholar
  5. Barabási, A.-L & Albert, R. (1999) Science 286 , 509-512. Abstract/FREE | Full Text
  6. Cohen, R., Erez, K., ben Avraham, D. & Havlin, S. (2000) Phys. Rev. Lett. 85 , 4626-4628. CrossRef | Medline | Web of Science | Google Scholar 
  7. Callaway, D. S., Newman, M. E. J., Strogatz, S. H. & Watts, D. J. (2000) Phys. Rev. Lett. 85 , 5468-5471 2000 CrossRef | Medline | Web of Science | Google Scholar 
  8. Albert, R., Jeong, H. & Barabási, A.-L. (2000) Nature 406 , 378-382 2000 CrossRef | Medline | Web of Science | Google Scholar
  9. Pastor-Satorras, R. & Vespignani, A. (2001) Phys. Rev. Lett. 86 , 3200-3203. CrossRef | Medline | Web of Science | Google Scholar
  10. Clark, J. & Holton, D. A. (1998) A First Look at Graph Theory (World Scientific, Singapore). Google Scholar
  11. Yook, S. H., Jeong, H., Barabási, A.-L. & Tu, Y. (2001) Phys. Rev. Lett. 86 , 5835-5838.  CrossRef  | Medline | Web of Science | Google Scholar
  12. Li, W. & Cai, X. (2003) e-Print Archive, http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/0309236Google Scholar
  13. Guimerà, R., Mossa, S., Turtschi, A. & Amaral, L. A. N. (2003) e-Print Archive,http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/0312535.  Google Scholar
  14. Newman, M. E. J. (2001) Phys. Rev. E 64 , 016131. CrossRef | Google Scholar
  15. Newman, M. E. J. (2001) Phys. Rev. E 64 , 016132. CrossRef | Google Scholar
  16. Barabási, A. L., Jeong, H., Néda, Z., Ravasz, E., Schubert, A. & Vicsek, T. (2002) Physica A 311 ,590-614. CrossRef | Web of Science | Google Scholar
  17. Freeman, L. C. (1977) Sociometry 40 , 35-41. CrossRef | Web of Science | Google Scholar
  18. Goh, K.-I., Kahng, B. & Kim, D. (2001) Phys. Rev. Lett. 87 , 278701. CrossRef | Medline | Google Scholar
  19. Brandes, U. (2001) J. Math. Soc. 25 , 163-177. CrossRef | Google Scholar
  20. Vázquez, A., Pastor-Satorras, R. & Vespignani, A. (2002) Phys. Rev. E 65 , 066130. CrossRef | Google Scholar
  21. Ravasz, E. & Barabási, A.-L. (2003) Phys. Rev. E 67 , 026112. CrossRef | Google Scholar
  22. Pastor-Satorras, R., Vázquez, A. & Vespignani, A. (2001) Phys. Rev. Lett. 87 , 258701. CrossRef | Medline | Google Scholar
  23. Maslov, S. & Sneppen, K. (2001) Science 296 , 910-913. Google Scholar
  24. Newman, M. E. J. (2002) Phys. Rev. Lett. 89 , 208701. CrossRef | Medline | Google Scholar
  25. Zhou, S. & Mondragon, R. J. (2003) e-Print Archive, http://xxx.lanl.gov/abs/cs.NI/0303028Google Scholar